I - Exercices sur les Limites

Exercice 1

Calculer la limite, quand \( x \) tend vers 2, de la fonction \( f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{2}} \).

Exercice 2

Calculer la limite, quand \( x \) tend vers \(-\infty\), de la fonction \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 2} + x + 1 \).

Exercice 3

Calculer la limite, lorsque \( x \) tend vers 0, de la fonction \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \).

Exercice 4

Calculer la limite, quand \( x \) tend vers \( \frac{\pi}{2} \), de la fonction \( f(x) = (\pi - 2x) \tan(x) \).

II - Exercices sur les Limites utilisant epsilon-delta

Exercice Epsilon-Delta 1

Montrer que la limite, quand \( x \) tend vers 2, de la fonction \( f(x) = x^3 - 2x \) est égale à 2.

Exercice Epsilon-Delta 2

Montrer que la limite, quand \( x \) tend vers 2, de la fonction \( f(x) = \sqrt{4x + 1} \) est égale à 3.

III - Exercices sur la Continuité

Exercice 5

Soit \( f \) la fonction définie sur \([-1,2]\) par : \( f(x) = \frac{7\sin(a(x-1))}{x-1} \) si \( x \) appartient à \([-1,1[\) et \( f(x) = 6x + a \) si \( x \) appartient à \([1,2]\). Déterminer \( a \) pour que \( f \) soit continue en 1.

Exercice 6

Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x - \pi} \). Montrer que \( f \) est prolongeable par continuité au point \( \pi \).

Exercice 7

Étudier la continuité de la fonction \( f(x) =\sqrt( \frac{x}{1 + \sin^2(x)}) \) sur \( \mathbb{R} \).